Vedische wiskunde: snel vermenigvuldigen

From Talk2000.NL

 en  *"kwadrateren met een getal dat eindigt op 5"

[edit] De kwadratering op -5

"je macht moet eindigen op een "5" "

bijvoorbeeld 75 x 75 of 35 x 35

75 x 75 je telt 1 op bij je eerste deel van het getal dat je wil kwadrateren: 7 + 1 = 8, vermenigvuldig met elkaar: 7 x 8 = 56, neem het kwadraat van 5: 5 x 5 = 25, schrijf uit: eerste deel en gewoon 25 er achter 'kleven' : 5625 dit is het kwadraat van 75

35 x 35 je telt 1 op bij het eerste deel: 3 + 1 = 4, vermenigvuldigen: 3 x 4 = 12, kwadraat van 5: 5 x 5 = 25, schrijf uit: 1225 dit is het kwadraat van 35

Algemener gaat dezelfde truc op bij vermenigvuldiging van twee getallen die alleen in het laatste cijfer afwijken, zolang deze cijfers opgeteld 10 leveren: 74 x 76: 7 x 8 = 56 4 x 6 = 24 schrijf uit: 5624

128 x 122: 12 x 13 = 156 8 x 2 = 16 schrijf uit: 15616

[edit] Snel vermenigvuldigen 1 - gebruik "kleine" cijfers

"telkens van: 9, de laatste van: 10"

[edit] Stap 1: het cijferstelsel uitbreiden naar ongeveer 14 á 19 cijfers

Schrijf de getallen om naar een ander cijfer-stelsel. Wij gebruiken de cijfers 0-9. Men zou ook getallen kunnen maken van negatieve cijfers, die schrijft men met een streep boven het normale cijfer-symbool. Hier op de webpagina zijn ze rood opgeschreven, omdat de computer niet zo gemakkelijk een streepje erboven kan zetten: 6 betekent nu: -6, maar dan als cijfer, niet als getal.

Als we nu de grote cijfers 6 t/m 9 "eruit gooien" en vervangen door negatieve cijfers 4 t/m 1, dan hebben we nu niet meer de cijfers 0-9 maar: 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 . Ook dit zijn 10 cijfers, net als 0-9. Het cijfer nul mag je op twee manieren schrijven: 0 of 0, het maakt niet uit.

We gaan nu een voorbeeld doen: 2008 maal 1776:

2008 houden we gewoon normaal, want die nullen, dat vermenigvuldigt wel prettig;

1776 schrijven we om: 1776 = 2000 - 224 dus 1776 = 2224.

[edit] Stap 2: de vermenigvuldiging

    2008

    2224

 ———— x

4446212

[edit] Stap 3: het antwoord terugvertalen naar 0-9 cijfers

Ook bij het terugrekenen van het antwoord gebruik je bovenstaande sūtra:

- begin achteraan, bij de eenheden, dat is de "laatste". Die haal je van 10 af. 12 = 10 - 2 = 08 . (Omdat je geleend hebt, verandert de 1 dus in 0.

- 6 2 blijft staan;

- 444 (eigenlijk: 400 - 44) geeft dus: 356 : de laatste van 10 afhalen, geeft 6, de andere van 9, geeft 5; tot slot met 1 verlagen omdat je geleend hebt.

Resultaat:

3566208

En dat is inderdaad gelijk aan:

2008 x 1776

[edit] Snel !

Natuurlijk is het omschrijven tijdrovend, maar het zal je verbazen hoe gemakkelijk de vermenigvuldiging daarna verloopt. Je hebt nu namelijk 2 voordelen:

• de cijfers zijn kleiner, je hoeft dus alleen maar de tafels t/m 5 te gebruiken;
• de tussenantwoorden in je berekening zijn willekeurig afwisselend positief en negatief, waardoor ze elkaar vaak uitdoven; hierdoor blijft je uitkomst lekker klein;

Hierdoor is het goed mogelijk om ook enorme getallen met elkaar te vermenigvuldigen.

[edit] Tip 1

Gebruik de volgende rekenvolgorde:

1. bereken eerst: eenheden maal eenheden
2. doe dan alle combinaties, waar precies 1 tiental in zit, dus: eenheden x tientallen + tientallen x eenheden
3. doe dan alle combinaties, waar precies 2 tientallen in zitten, dus: eenheden x honderdtallen + tientallen x tientallen + honderdtallen x eenheden

Als je zo werkt, en in je hoofd optelt, kom je bijna altijd uit op een klein getal. Van dit getal schrijf je de "eenheden" op en de rest deel je door 10 als "onthouden".

[edit] Tip 2

Als je tussenuitkomst 18 is, zou je normaal 8 opschrijven 1 onthouden, maar nu kies je voor 20-2 = 22 dus 2 opschrijven 2 onthouden.

Als je tussenuitkomst -18 is, is het precies andersom: -18 = -20 + 2 = 22 dus 2 opschrijven 2 onthouden.

[edit] Voorbeeld 2

  31415926536 x 31415926536 =

                   31414114544

                   31414114544

                ——————— x

1013040440115351041316

  986960440115348959296

[edit] Snel vermenigvuldigen 2 - vermenigvuldigen met getallen vanaf een basisgetal

[edit] Voorbeeld 1 - basis 10

  7

x 9 =

7 en 9 liggen dicht bij 10, dus gebruiken we 10 als basisgetal.

7 = 10 - 3

    en

9 = 10 - 1

We schrijven:

  _

Tel nu 3 op bij 9 of 1 bij 7. In beide gevallen krijg je 6. Vermenigvuldig 3 met 1 geeft 3. Die cijfers schrijf je na elkaar op: 63. Dit is je uitkomst. Met dit systeem hoef je de tafels van vermenigvuldiging alleen te kennen tot 5 x 5!

[edit] De vedische sūtra: "loodrecht en kruiselings"

De vedische sūtra die hier gebruikt wordt heet: "loodrecht en kruiselings" of "ūrdhva tiryagbhyām". Hier tel je kruiselings op en je vermenigvuldigt loodrecht.

[edit] Voorbeeld 2 - basis 100

  103

x 104 =

103 en 104 liggen dicht bij 100, dus gebruiken we 100 als basisgetal.

We schrijven:

_______

Tel nu 3 op bij 104 of 4 bij 103 ("kruiselings"). In beide gevallen krijg je 107. Vermenigvuldig 3 met 4 ("loodrecht") geeft 12. Die cijfers schrijf je na elkaar op: 10712. Dit is je uitkomst.

[edit] Voorbeeld 3 - basis 200 en 100

Nu iets spannender: vermenigvuldigen met een dubbele basis.

  203

x 204 =

203 en 204 liggen dicht bij 200, dus gebruiken we 200 als basisgetal. 200 is een veelvoud van 100 (100 x 2) dus 100 is ons basis-basisgetal.

We schrijven:

Tel nu 3 op bij 204 of 4 bij 203 ("kruiselings"). In beide gevallen krijg je 207. Dit vermenigvuldigen we met 2 = 414. Vermenigvuldig 3 met 4 ("loodrecht") geeft 12. Die cijfers schrijf je na elkaar op: 41412. Dit is je uitkomst.

[edit] Voorbeeld 4 - basis 50 en 100

  48

x 52 =

48 en 52 liggen dicht bij 50, dus gebruiken we 50 als basisgetal. 50 is 100/2 dus 100 is ons basis-basisgetal.

We schrijven:

Tel nu 2 op bij 52 of 2 bij 48 ("kruiselings"). In beide gevallen krijg je 50. Dit delen we door 2 = 25. Vermenigvuldig 2 met 2 ("loodrecht") geeft 4. Die cijfers schrijf je na elkaar op, rekening houdend met je basis-basis (100=10 tot de macht 2 dus reserveer 2 plaatsen voor het tweede deel van je uitkomst, schrijf dus "4" als "04"): 2504 of 2496. Dit is je uitkomst.

- N a v i g a t i e -

• ^ top
• Main Page (homepage talk2000 collectief)
• welke pagina's linken hiernaartoe? ( ga terug met: Alt - cursor-links )

• Kr8.nl/ levend communiceren