3B

From Talk2000.NL

Jump to: navigation, search
Docent: Raoul Kuiper
E-mail adres: kuiper.kpr ( op ) gmail.com ?Help

Links en sites

Contents


Studiewijzer Hoofdstuk 3 + 4, kwadratische functies

Hoofdstuk 6: de abc formule

Huiswerk voor dinsdag 4 maart 2008

  • 3def
  • 5efgh
  • 8
  • 9

Huiswerk voor dinsdag 11 maart 2008

(vorige week viel uit.)

De rest van de planning kan nog wijzigen! Kpr 13:14, 11 Mar 2008 (CET)

oorsprong van de abc formule

Stel, we willen de volgende vergelijking oplossen:

(x+3)2 = 16

We hebben tot nu toe geleerd de product-som methode, gebaseerd op A*B = 0, en de kwadraat=kwadraat methode, gebaseerd op A2 = B ofwel a2 = b2.

product som methodes en dergelijke
methode 1

gedaante: A2 = B of a2 = b2 (achteraf vind ik het duidelijker om met B te werken in plaats van b2, maar voor het idee maakt het eigenlijk niet uit).

  • Oplossing is:
    a = b of a = -b
    met b = wortel(B).

Dus:

(x+3)2 = 16
(x+3) = 4 of (x+3) = -4
x = -3 + 4 of x = -3 -4
x = 1 of x = -7
methode 2
bruut geweld
(x+3)2 = 16
x2 + 3x + 3x + 9 = 16
x2 + 6x + 9 = 16
x2 +6x + 9 - 16 = 0
x2 +6x - 7 = 0

Het product van het eerste en tweede getal dat we zoeken, e en t in (x+e)(x+t)=0 is negatief (-7). Daaruit volgt dat precies een der beiden negatief is. De som, +6, is dus eigenlijk het verschil van de absolute waarden van de twee getallen e, t. Zeven is een priemgetal, dus we vinden nu vrij snel de enige mogelijkheid:

x2 +6x - 7 = 0
(x+7)(x-1) = 0
Gedaante: A*B = 0 dus dan volgt: A=0 of B=0
x = -7 of x = 1
methode 3
bruut geweld en genialiteit (niet aangeraden)
(x+3)2 = 16
x2 + 6x + 9 = 16
x2 + 6x = 7
x ( x + 6 ) = 7

Deze vergelijking heeft de gedaante:

x ( x - s ) = -p

Waarin s de som van de oplossingen is, en p het product van de oplossingen. We slaan dus de stap (x+7)(x-1) nu over, en schrijven meteen:

p = -7 (uit het hoofd)
s = -6 (uit het hoofd)

Vervolgens met omgekeerde redenering van methode 2, vinden we:

x = -7 of x = 1
een nieuwe methode is nodig

Wat nu als de op te lossen vergelijking niet:

(x+3)2 = 16

is, maar:

(x+3)2 = 17

Bij methode 1 kunnen we de vergelijking nog oplossen, maar in plaats van 4 krijgen we nu wortel(17). De antwoorden worden dan -3 - wortel(17) en -3 - wortel(17). De kans dat je die met methode 2 of 3 zelf had kunnen bedenken bestaat, maar is niet zo groot.

Je boft dus als de vergelijking die je op wilt lossen staat in de gedaante bij methode 1, want dan kun je wat.

methode 2
bruut geweld, je loopt vast:
(x+3)2 = 17
x2 + 6x + 9 = 17
x2 +6x + 9 - 17 = 0
x2 +6x - 8 = 0

Het getal 8 als product kunnen we alleen maken uit 1 keer 8, 2 keer 4 of andersom. De som van 2 en 4 is wel 6, maar dan is het product niet 8, dus we komen er niet uit.

Maar je kunt het toeval een handje helpen!


Een krachtiger methode is kwadraat afsplitsen:

kwadraat afsplitsen

Bedenk dat:

(x+h)2 = x2 + 2hx + h2

Wanneer we de vergelijking beschouwen:

ax2 + bx + c = 0

En laten we even stellen: a = 1 (je kunt altijd eerste de hele vergelijking delen door a, namelijk):

x2 + bx + c = 0

Dan zien we dat het misschien interessant is om te schrijven: 2h = b ofwel h = b/2 . In ons voorbeeld wordt dat:

x2 +6x - 8 = 0 (De op te lossen vergelijking)
(x + 3)2 = ...?

De 3 is dus de helft van b. Wat moeten we nu doen om onze oorspronkelijke vergelijking toch te houden? ( "*" betekent vermenigvuldiging )

(x+3)2 = x2 + 2*3*x + 3*3

Trek aan beide kanten 17 af:

(x+3)2 - 17 = x2 + 2*3*x + 9 - 17
(x+3)2 - 17 = x2 + 2*3*x - 8

Dus met deze methode: h = b/2 en dan compenseren, kun je de vergelijking van gedaante 2 naar gedaante 1 herschrijven, en dan is oplossing mogelijk.

En dat is nu precies wat de abc-formule voor je doet, maar dan met minder nadenken. Bovenstaande methode, "kwadraat afsplitsen", kan echter voor handige algebra-isten aanzienlijk sneller en eleganter werken dan gebruik van de abc formule.

abc formule

Huiswerk voor dinsdag 18 maart 2008

  • t/m 23, geselecteerde sommen;
25-R, 28, 29, 30, 31, 40

18 maart 2008

  • Er moet getracteerd worden door iemand die meent dat je kunt spreken zonder het werkwoord "Zijn" te gebruiken.
  • Na een korte start in lokaal 1 gaan we naar de mediatheek. Wel gewoon je boek en schrift mee.

Huiswerk voor donderdag 20 maart 2008

  • ...
  • Opmerking: Op deze donderdag beginnen we aan de Algebra

SO Hoofdstuk 6 dinsdag 25 donderdag 27 maart

Verplaatst naar donderdag.

Algebra

blz 1

som 1a,c 2b 3ab 4ab 5ab,d 6abcd

blz 2

1ab,gh 2ab,gh 3ab,gh

blz 3

1abc,e,gh 2ab,e,h

blz 4
1 (links)

1 3 5 7 8 9

2 (rechts)

2 3 4 5 6 8 9

blz 5
3 (links)

1 6 8 9

4 (rechts)

2 6

Vragen? Stel ze hieronder...

overzicht methodes

We hebben nu in totaal 5 technieken die we kunnen gebruiken. Het kan zijn dat de opgave al de vorm heeft die hoort bij één van deze technieken; het kan ook zijn dat een opgave in een vorm staat die hoort bij een andere techniek. Als je de verkeerde techniek toepast, zul je vastlopen; het is belangrijk om de tekenen van vastlopen goed te herkennen. Het is vaak de moeite waard om de technieken even snel langs te lopen in volgorde van hoeveelheid werk, maar ook dat kost tijd.

Ik gebruik over het algemeen hoofdletters om een deel van een vergelijking mee aan te duiden (een factor).

op te lossen opgave (vergelijking)

Voor welke waarde(n) van de variabele (meestal x) is de vergelijking een ware bewering?

op nul herleid
niet op nul herleid
1. som-product methode
  • je werkt toe naar de vorm:
A∙B = 0
indien, en slechts dan als: A=0 of B=0
  • (of betekent altijd: en/of)
2. abc-formule
  • Ook hiervoor moet de vergelijking op nul herleid zijn.
  • Levert je (tot) 2 oplossingen (dus nulpunten van het linkerdeel)
  • en de symmetrie-as (zelfs als er geen oplossingen zijn)
3. kwadraten
A2 = B2
indien, en slechts dan als: A = -B of A = B
  • (vergeet de tweede niet)
4. vorm AB=AC
  • je mag niet (zomaar) delen door A, want A zou nul kunnen zijn.
A∙B = A∙C
indien, en slechts dan als: A = 0 of B = C
5. variabele substitutie

voorbeeld:

( x+1 )2 – 5( x+1 ) + 6 = 0

We kunnen deze vergelijking probleemloos oplossen door alle haakjes uit te gaan werken. Een elegantere manier is echter:

Laat Q = ( x+1 )
Dan: Q2 – 5Q + 6 = 0
( Q-2 )( Q-3 ) = 0
Q=2 of Q=3
x+1 = 2 of x+1 = 3
x = 1 of x = 2

uitwerkingen sommen

Het is van belang dat je systematisch werkt. Je moet niet alleen de goede oplossingen geven, je moet tevens bewijzen dat je ALLE oplossingen hebt gegeven.

blz 4, links, som 3

( 2x + 1 )3∙( –x + 2 ) = ( –2x – 1 )∙( x – 2 )3
Laat 2x + 1 = P en laat x – 2 = Q
Dan: P3∙(–Q) = (–P)∙Q3
Dus: P3∙Q = P∙Q3

Je zou willen delen links en rechts door PQ, maar dat mag je niet zomaar doen, want PQ kan nul zijn. Het is vorm AB=AC.

A=0 ..... of B=C
(herhaling) P3∙Q = P∙Q3

PQ=0 of ....

P2 = Q2

P=0 of ....
 
2x + 1 = 0
x = - 0,5
Q=0 of ....
 
x – 2 = 0
x = 2
P=–Q of ....
 
2x + 1 = –x + 2
3x = 1
x = 1/3
P=Q .
 
2x + 1 = x – 2
x = –3

4 oplossingen: onderstreep ze dubbel, of haal ze aan.

blz 4, links, som 7

( 2x – 3 )3 + 3( 2x – 3 ) = 12x – 18
Laat 2x – 3 = Q
Dan: Q3 + 3Q = 6Q

AB = AC met A = Q

A = 0 of ....
2x – 3 = 0
x = 1,5
B=C

(in feite gedeeld door Q)

Q2 + 3 = 6
Q2 = 3
A2=B2
A = –B of ....
2x – 3 = –wortel 3
2x = 3 – wortel (3)
x = 1,5 – 1/2∙wortel (3)
A = B
2x – 3 = +wortel 3
2x = 3 + wortel (3)
x = 1,5 + 1/2∙wortel (3)

Het is niet verplicht om de hulpvariabele Q te gebruiken: je mag natuurlijk ook overal in plaats van Q schrijven: ( 2x – 3 )

SO 8 april 2008

.

#top

 

- N a v i g a t i e -

Reageer

+++ Geef jouw Reactie (op de discussion page) +++

(en klik op 'Save' als je klaar bent)
Retrieved from "http://www.talk2000.nl/mediawiki/index.php/3B"
Personal tools